Od svého vzniku vystoupilo na mnoha významných světových pódiích, nevyjímaje festival „Pražské jaro“ v r. 2016, dále pak na koncertech v Itálii, Rakousku, Španělsku, Slovensku, Německu, Francii či Japonsku aj. Kvarteto je pojmenováno podle houslisty Josefa Suka (1929–2011), jedné z největších osobností houslové generace 20. století, vnuka skladatele Josefa Suka a pravnuka Antonína Dvořáka. Ansámbl byl založen houslistou Radimem Krestou v r. 2007 původně ve složení klavírního tria. Od druhé poloviny r. 2012 hraje ansámbl v obsazení klavírního kvarteta. V sezóně 2019–2020 bylo Klavírní kvarteto Josefa Suka rezidenčním souborem Českého spolku pro komorní hudbu při České filharmonii. V rámci sezóny České filharmonie soubor vystoupil se svým recitálem ve Dvořákově síni Rudolfina opět na jaře 2022 a nadále pravidelně vystupuje na prestižních českých i zahraničních pódiích. Na svých koncertech vystupuje soubor také v různých komorních formacích (např. v obsazení klavírního nebo smyčcového tria), spolupracuje s dalšími umělci (např. v Beethovenově Septetu, či Pendereckého Sextetu s klarinetem a hornou), s pěvci, nebo herci (např. členy Národního divadla v Praze) apod.